Der Straßenname Hasenwinkel erinnert an die alte Flurbezeichnung Hasenheid (andere Schreibweise: Haesenheid). Der Ursprung dieses Namens ist unsicher; er ist vermutlich zwischen 1500 und 1700 entstanden.
Erklärung 1:
Auf alten Karten aus dem 19. Jh. erkennt man ein kleines Haus (eine Kate?) in der Hasenheid. Dort war „das Ende der Zivilisation“, dahinter kam die freie und 
öde Heide, wo sich nach dem Sprichwort „Fuchs und Hase gute Nacht sagen“. 
Mit hoher Wahrscheinlichkeit hatten damals in der Heide Hasen bzw. Kaninchen reichlich Lebensraum und können so zu dieser Flurbezeichnung geführt haben.
Auch in Berlin gibt es eine Hasenheide; dort wird der Name eindeutig auf dort lebende Hasen zurückgeführt. Ab 1678 ließ Kurfürst Friedrich Wilhelm von Brandenburg die Berliner Hasenheide einzäunen, damit ihm bei der Jagd die Hasen nicht immer wegliefen.
(UD) unter Verwendung von https://de.wikipedia.org/wiki/Volkspark_Hasenheide (am 2.2.2017)
Erklärung 2 (nach Dietmar Schmitz):
Im Dreißigjährigen Krieg sollen Truppen aus Hessen hier kampiert haben. Dieses Stück Heide hieß daher Hessenheiderfeld oder Hessenheide, was in der Umgangssprache später zu Haesenheide bzw. Hasenheide verballhornt wurde.
Schmitz, Dietmar, Beitrag zur Chronik für den Ortsteil Freiheid, erschienen als Berker Hefte Nr.1, zitiert nach
http://d-schmitz.homepage.t-online.de/Freiheid.htm (am 14.4.2016)
Diese Deutung erscheint nicht zwingend, weil eine Umwandlung der Lautkombination „kurzes e mit scharfem s“ in Hessen zu „langes a mit weichem s“ in Hasen sprachlich untypisch ist. Das „ae“ in Haesenheid ist kein Ersatz für den Umlaut „ä“, sondern enthält das typisch niederdeutsche Dehnungs-e.
Gestützt wird die Deutung durch die Schreibweise Hessenheiderfeld in der Flurkarte von 1824.
Dagegen sprechen die Schreibweise Haesenheid in der Hauptkarte Beeck von 1826 und die Schreibweise Hasenheid in der preußischen Uraufnahmekarte von 1836.
(UD)
Erklärung 3 (auf Basis einer Veröffentlichung von Willi Spichartz):
In Wassenberg am Schaagbach existieren zwei Wege- bzw. Flur-Bezeichnungen: Heesweg und Auf der Hees. Zugrunde liegt das Wort Haise/ Hees/Häs, welches „wildes Buschland“ bedeutet.
Willi Spichartz, Der Ursprung liegt an Haus Wildenrath, in: Rheinische Post, 31.7.2018, Seite B3
Das lässt sich leicht auf die Beecker Hasenheide übertragen. Diese Deutung ist am überzeugendsten, weil die Beecker Heide nicht nur von niederem Kraut, sondern in einigen Teilen auch von Büschen bewachsen war. Von Osten nach Westen folgen auf die „Beeckerheid“ die „Haesenheid“ und die „Freiheid“ (siehe Tranchot-Kartenausschnitt oben). Auch sprachlich ist die Entwicklung von langem „ee“ über „ae“ zu „a“ (alles lang gesprochen) gut nachvollziehbar. Auch bei Xanten existiert ein Gebiet namens Hees. Dort bezeichnet das ein gerodetes Gelände, auf dem sich Heide entwickelt hat.
(UD)